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途中で悩んでしまいましたが、リアルな姿をお楽しみください(T . T)
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 さん額からあんこが垂れてくる様子が画面に映っています。お疲れ様でした。ありがとうございました。
*リアルが一番どす👍*
だから栗餡色のセーターなんですね
10:08こう言うとこなんよね。数学に慣れてない俺みたいな視聴者の目線で、「ここで頭こんがらがる人出そうだな」と思ったら、すぐ振り返って更に整理するための軽いコメントを入れてくれる。そう言うのが無い場合は自分なりに理解できるまで動画を一時停止して考えるし、そっちのが良いのかもしんないけど、それが合ってるかどうかも不安だったりする。ほんと魔術師って数学初心者に優しいと思う。
（時刻17:10頃）「α0 ⇒ α0）また、解の十分性も保証しておかなければなりません。同値性を意識して記述した方がよいでしょう。-------------------------------------------------------------------------＜略解＞【※動画のように、放物線上の接点のx座標をtとおき（実は接線の傾きでもある）、放物線の接線として題意の直線を定める。この直線が同時に円にも接するための条件は、原点との距離がrに等しいこと。動画では特に明示されていないが、距離の式を変形してtの4次方程式を導く過程において、同値性は維持されている。よって、以下のように続けることができる…。】題意の2曲線の両方に接する直線が存在する条件は、傾き t に関する4次方程式 t^4 - 4(1+r^2)t^2 + 4(1-r^2)=0 …①が（少なくとも１つの）実数解を持つこと。さらに題意が完全に満たされるための条件は 「積が-1となるような2実解を①が持つこと」…②。ここでs=t^2とおけば、 ①⇔ s^2 - 4(1+r^2)s + 4(1-r^2)=0…③であり、条件②は「下記1°,2°の少なくとも一方が満たされること」と同値となる： 1°）sの2次方程式③が1を解に持つ。 2°）sの2次方程式③が「積が1に等しいような２つの正の解」を持つ。r >0に注意して 1°）⇔ 1- 4(1+r^2) + 4(1-r^2) =0 ⇔ 1 - 8r^2 =0 ⇔ r=√2/4。③の判別式をDとおくと D/4= 4(1+r^2)^2 - 4(1-r^2) = ...= 4r^2(r^2+3)>0。よって③は相異なる2実解α,βを持つ。このとき、解と係数の関係に注意して 2°）⇔ αβ=1 かつ α>0 かつ β>0 ⇔ αβ=1 かつ α+β>0 ⇔ 4(1-r^2)=1 かつ 4(1+r^2)>0 ⇔ 4(1-r^2)=1 ⇔ r^2=3/4 ⇔ r=√3/2。以上により、解答は r=√2/4, √3/2。■
最初にイメージ図を描いた時に不足があります。たくみさんが描いたのは左右対称の場合で、これは45度なので放物線との接点はそれぞれ(1,3/2)と(-1,3/2)。傾き45度なので秒殺できて、これはr=√2/4になります。もう一つの答え、r=√3/2は、右上がりの接線が円の上を通り、右下がりの接線が円の下を通ることになります。
文字を置いて計算するから全パターンを描く必要はないですし、不足しているのを分かった上で一例を描いただけなんじゃないですか？でも確かに一つの答えは秒殺ですね。
問題を解いた後に、方程式の解と図形的なパターンとの対応を、解説してくれても良かった気がしますね。最初のイメージ図が最後まで残っていたので。
比較的計算が簡単な別解ができたのでご参考まで。2接線と放物線との交点をm1,m2(m1>m2)とする。このとき接線の傾きもm1,m2である。従って2接線の式はm=m1,m2としてy=mx-m^2/2+1。その交点は((m1+m2)/2,m1m2/2+1)。特に2接線が直交するためm1m2=-1であるから、((m1+m2)/2,1/2)である。一方、円の対称性から、2接線が直交する時、原点と2つの接点、2接線の交点が作る四角形は正方形となる。m1=1の時、即ち交点の座標が(0,1/2)の時は対角線の長さ√2r=1/2であるから、r=√2/4。m1≠1の時、傾きm1の直線とx軸のなす角をθと於けば、正方形の対角線の傾きはtan(θ±π/4)=(tanθ±1)/(1-+tanθ)と表せる。（-+はマイナスプラスの意味。複合同順）※符号が＋となるのはm1と円との接点のy座標が正のとき、符号が－となるのは同じ点のy座標が負の時であることに注意。tanθ=m1であることと、2接線の交点の座標が((m1+m2)/2,1/2)であることから、1/(m1-1/m1)=(m1±1)/(1-+m1)…(*)複合が＋の時(*)⇔(m1-1)(m1^2+3m1+1)=0⇔m1=1, (-3±√5)/2m1≠1, m1>m2より、いずれも不適。複合がーの時(*)⇔(m1+1)(m1^2-3m1+1)=0⇔m1=-1, (3±√5)/2m1≠1, m1>m2より、m1=(3±√5)/2. この時m2=-(3-+√5)/2で、m1+m2=√5。正方形の対角線の長さ=√2rであるから、対応するrの値はr=√3/2
自分で考えてると全然分からんかったのに解説が分かりやすくて納得した。あと1年くらいでこういう問題が1人で解けるようになれるようにがんばる！
鈴木貫太郎さんの相槌がいいですね。解説もとても丁寧で分かりやすかったです‼️
点(rcosθ,rsinθ)と円との接線を求めてそれが放物線と接する時sinθ=(r±√r^2+3)/3となってそれぞれsinθ1,sinθ2と置くと、r=sinθ1の2角が直交、r=sinθ2の2角が直交、r=sinθ1,rsinθ2のそれぞれの角が直交...の３パターンを考えれる。場合分けして計算するとr=√3/2,√2/4とわかる。■ y軸対称性を利用するとかなり楽に解けた。
α
放物線と円の対称性から、まず放物線上の、x=aとx=-a(a>0)における2本の接線が直交する必要条件から攻めるとかなり楽に求められる気がします。y'=xより、a×(-a)=-1だから、a=12本の接線はy=±x+1/2で、それと円が接するから、r=1/2√2
あーそうか、２つあるのか…ならx=α、x=βにおける接線2本が直交するからαβ=-1あとは原点から2接線までの距離が同じって条件からもう一つ式作ってそっから接点が出せて、あとは点と直線の距離で終わりかな。
放物線の接点から始めずに、円の接点から始められないかな、と。今の数2Bの範囲が分からないので逸脱してたらごめんなさい。円の2接線が直交するので、2つの接点をA,Bとすると、∠AOB=90°したがってA(a,b)と置くと、B(-b,a)と書ける。題意より、aもbも0でない。なぜなら一方が0の場合、2接線のうち一方はy軸と並行になるが、このような直線と所与の放物線はただ1つの交点を持ち、接線とはならないため。点Aにおける円の接線の方程式はy=-a/b(x-a)+b…①点Bにおける円の接線の方程式はy=b/a(x+b)+a…②また、A,Bそれぞれからx軸に垂線を下ろして出来る三角形に関する三平方の定理よりa^2+b^2=r^2…③(ここが数3C範囲と言われたら厳しい)①および②が放物線y=1/2x^2+1と接するので、以下の2つの方程式はそれぞれ重解を持つ。-a/b(x-a)+b=1/2x^2+1b/a(x+b)+a=1/2x^2+1故にそれぞれの二次方程式の判別式=0であるからa^2/b^2-2(1-a^2/b-b)=0b^2/a^2-2(1-b^2/a-a)=0整理すると2b^3+a^2-2b^2+2a^2b=0…④2a^3-2a^2+b^2+2ab^2=0…⑤ここでa^3+b^3=(a^2+b^2)(a+b)-ab(a+b)、b^3-a^3=(b^2-a^2)(b+a)-ab(b-a)に注意して④+⑤、④-⑤をそれぞれ計算して整理すると(a^2+b^2)(2a+2b-1)=0…⑥(b-a){2(a^2+b^2)-3(a+b)}=0…⑦⑥において、③よりa^2+b^2=r^2>0であるから、a+b=1/2.したがって⑦⇔(a-b){2(a^2+b^2)-3/2}=0a=bのとき、a=b=1/4であるから、③よりr=√2/42(a^2+b^2)=3/2のとき③よりr^2=3/4であるからr=√3/2
素晴らしい解き方ですね
本番ではtの４次式まで書いた記憶がある。なお落ちた。
点と線の距離を求めるなら、先に接線を二つとも式で表して、（x=tとx=-1/tにおける接線)両接線からの距離をR1,R2として、R1=R2となるようtを求めその時の値をrとした方がわかりやすいかなと思いました。好みでしょうかね。
接線を(a,b)を通る傾きmの直線と置いたらどうだろうか？接線となる条件から円と放物線それぞれについてmについての二次方程式が立つ筈で、直行条件はm1m2=-1で処理できるから解と係数の関係が使える(ただしa^2+b^2>r^2...① b
点と直線の距離の計算の工夫は、勉強になりました
クアスアーク チャート解きましょう。
17:40 あたりの不適の証明はα＋βの式にβ＝1を代入して負にならないと表した方が計算が楽になると思う。
ほんとだ！いいですね
これα負になるのは単にsが0以上だからダメですよねって感じじゃよくないんですかね
一橋tにしか見えんw
この点はでねぇよぉぉぉ！！AB通らない接線なんだからぁぁ〜いいかぁぁぁ、おぅぅん。
誰のまねですか？😏
放物線の接線の関数を円の方程式に代入して、ｘの二次方程式に。この二次方程式が重解をもつという条件で、たくみさんと同じ式に到達しました。力技ででてきた四次方程式の解をもとめて、傾きの積が-1になるrを求めようとして、つまりました。動画をみて解と係数の関係のヒントを得て、同じ解に到達できました。力技にはしるのはテクニックがないからですね。
備忘録3周目👏80G"【 "微分法(接点設定)" からの "円に接" の戦略 】y'＝ x より、 点 ( p, 1/2 p²＋1) での接線は、 y＝ p･x－1/2 p²＋1 ⇔ －2p･x＋2･y＋p²－2＝ 0 ･･･① ( 傾き p ) ⊥ ( 傾き－1/p ) だから、y'＝ x＝－1/p より もう一つの接線は、y＝－1/p・( x＋1/p ) ＋1/2p² ＋1 ⇔ 2p･x＋2p²･y＋1－2p²＝ 0 ･･･② ①, ②が 円と接する条件は、| p²－2 |/√(4p²＋4) ＝ r ･･･③, | 1－2p² |/√(4p²＋4p⁴) ＝ r ･･･④ ③, ④より r を 消去して、 ( p²－2 )²・p² ＝ ( 1－2p² )² ⇔ p⁶ －8p⁴ ＋8p² －1＝ 0 ⇔ (p²－1)( p⁴－7p²＋1)＝0 ⇔ p²＝ 1, (7±√45)/2 ③に代入して それぞれ、 r＝ 1/√8, √3/2 ■〖 先に 条件式を並べて様子見て { ③ と ④ } → 一旦 r 消去が ○急所 〗
これはうまい
図形的解釈ではy軸に対して非対称のときってのが難しいなぁ
kazutaka sakamoto 一気に難易度上がりますね
まず図を描いてイメージを掴もうとしましたがその時点でｙ軸対称しか思いつきませんでした。y軸対称なら結構計算が端折れるのでｒの値はすぐでます。しかし、y軸対称でない場合は計算で出すしかないから頭がこんがらがる。もう一度ちゃんと復習します。ｙ軸対称でない場合はx軸対称になるのか･･･？
放物線上に接点p,q置いて、条件を整理するとpの五次方程式になって解けない…
図示している「直交する2線がともにy軸対称になっている解」が2つ。直交する点が円の上(図示されてる)と下のものでこれが(ア)。それと他に「y軸対称になってない直交する2線の組がy軸対称で2つ存在する」という(イ)はかなりややこしい。図示の段階や、最低でも4次の偶関数が出てきた段階でそういうのがあるかも事前にイメージできていれば論証が簡単でかなりスマートになったかも。
基礎的な方法をしっかり説明してくれて分かりやすかったです
(ⅰ)の場合で少し混乱(？)されていましたが、sの二次方程式の解とした時点で、α,βは0以上なのでそもそもあり得ないということで(ⅱ)だけ検討すればいいと思いますがどうでしょうか？
なるほど！ありがとうございます
minecraftフィッシュマンさん大丈夫だと思います。この場合も検討しないと減点されるかもしれないですね笑
ほんとに大丈夫か？
条件がたくさんあるけどモヤモヤして解けない問題だなあと思ったら、たくみさんもそんな感じで悩んでたみたいですね。
条件式的にはそういうこと
円の方程式、両辺xで微分すればとか思ったけど文系の問題かこれ
悩んでると一緒に考えられてイイ！これから毎回悩んでください！！
今日阪大模試です！（関係ない）がんばります！
tの4次方程式が必ずt=±α,±βの形の4実解もちこれらのうち積が-1となる組合せがある、（ここでいったん冷静になってから;^_^）それはα=1の場合とαβ=1の場合がある。前者はようするにt=1が解になってる後者は4解の積が1ゆえ解と係数の関係から・・・手頃な難易度の良問と思いました。
> tの4次方程式が必ずt=±α,±βの形の4実解もち...r > 1のとき、この4次方程式は2実解しか持たないのでは？（t^2の2次方程式と見ると2実解の積が負になるから、4次方程式としては符号が反転した2実解と共役2純虚解を持つはず。）つまり上記のように記述できるのは r≦1 のときに限られており、特に αβ=1 の場合について求めた値が r≦1 を満たしていることを確認しない限り、論理的に瑕疵になると思われます。(4次方程式が±1を解に持つ場合については、他の解が実解／虚解のいずれであろうが題意が満たされるので、r≦1の確認は不要。)■
@@たま-z6n9k おっしゃるとおり。「4実解もつならば必ず・・・の形をしており」と書くべきでしたね。
接線の傾きがtなら図形の対称性より直交するもう一本の接線の傾きは-tだからt^2=1にならない？
罠にかかったみたいです。y軸対称でないものは気づかなかった
ironia006 たくみさんが最初に書いた図のイメージのせいでしょw
動画開いてすぐ止めて問題を解いているのでそれはないです
y=mx+a、y=-x/m+bとして始めても解けますね。
一橋、複二次式多いですね
事前に解答を見ないでぶっつけで解き始めちゃうところがすごい
r＞1のときは円が放物線と交わるから、「両方に直行する」に矛盾するから、（ⅰ）が成り立たないのだと思いました
それはあくまで感覚的な議論だからダメでしょこういう問題は論証を図に頼りすぎると減点される
いや減点されないよ？きちんと円と放物線が交われば、両方に直行しないことを示せればいい
x→0で与式がcosxに近似できることは関係あるのでしょうか？
これは放物線の接点を(a,b)(-a,b)と置いてそれぞれ接線出して、その直線が円と接するからcを2通りで表して代入して(a-1)b=0の形になるからあとはb≠0でa=1 b=1/2がわかるからc=√2/4って出るね
動画見たらまさかの解が２つだった 見直す
あーこれ(a,b)(-a,b)だけとは限らないのか うーむどうしよう
(ⅰ)の条件は考える必要はありますかね？sは0以上なので必然的にαβは0以上になると思いますが。あとはt1t2の組み合わせは8つしかないので、それから条件に合う組み合わせを考えれば大丈夫だと思いますが。
Sが負の解を持たないとは限らないし、持った場合も正の解の平方根どうしで掛けて-1になる可能性はあるかもしれないので確かめないといけないんじゃないですかね？間違ってたらすみません…
これって最初の方で傾きが両方45°って言えないんですか？
97年の問題ならまさに受験の時に解いてるはずですけど全く覚えてないし今じゃ問題文が何言ってるのか分からないですね
放物線と円がy軸対称なので2つの接線もy軸対称である。それらが直交するとき傾きは1と-1になる。y=(1/2)x^2+1の傾きが1の接線はy=t(x-t)+(1/2)t^2+1でt=1としたy=x+1/2でありr=|-(1/2)t^2+1|/√(t^2+1)=|1/2|/√2=√2/4あれ？
さようならは笑っちゃったw
✴︎のところはs>0に２実解を持つから端点と軸も調べなきゃいけなくないですか？間違っていたらごめんなさいー
持たない場合もあるよ。sが1つ存在すればtは2解を持つから必ずsの二次方程式がs>0に2実解を持つとは限らない
y＝nx＋mと円との重解条件使って解いたからめんどい場合分けは使わずに済んだけどそれでもタフな問題ですね
من فضلكم أتمنى اعطاءي فكرة عن مقررات منهاج الرياضيات الذي يدرس في المرحلة الثانوية في اليابان.....Thank you
京大オープン行って来ました、難しかった、、
こーゆう問題好き
さすが一橋。と感じる良問
良い問題！一橋！
アスタリスクの解はそもそもsが負をの値を取らないからαが0以下になる場合って検討しなくてもいんじゃね？わからん。書いた方がいいのかな
生田斗真にちょびっと似てる
とりあえず観ます！◎
全員イケメンやん
最初に直交する条件出した方が早いですね。
たくみさんの服GUかな？
4:00 定数項の符号が間違っている?はじめにy軸対称から入ったほうが計算が易しい気がします。
全部右辺に整理しているから符号はあってるよ
あ、正しいですね。失礼しました。
グラフの原点にたくm(ry
あれ？確かヨビノリさんって自称身長180cmでしたよね？…あれ？これスバルさん200cm近くあるんじゃ⁉︎
これってS、0以上だから、α、βも０以上だよね？
最初に図示したが中途半端最後に幾何学的解釈がない幅や厚みや深みかない🤢やっつけ受験対策だけ🥵数学的な発展性がない🥶Y軸対象の方は接線がy=(±x+1)/2だからr=√2/4は自明だが√3/2の接線を求めて図示し解釈を示さなきゃ
هل هذه الدروس للمرحلة الثانوية
ヨビノリまじかっけぇ
こういうのは得意やねんけどな
おそるべし一橋・・・。後半意味わからんくなった。
これ文系？
解けること自体凄いけど、本番でこの解法は先ず絶望的な気がします。
もっちゃんがいないw
そんなに難しく考える問題か？
一橋大の大がtみたい
たくみさん今日顔の調子いいね
えへへ
@@にっしー-c9r おいこら
円といえばたくみ、たくみといえば円
一橋大学受ける人がこれ解けるの？
徹 このくらいの問題なら解けると思う。ヨビノリさんは黒板の都合上過程整理を省略しながら、しかも消しながら解いてるからこんがらがってたけど、実際に答案を書く受験生はしっかり解けると思うよ。
徹 一橋をナメちゃあかん
解けない人もいるし解ける人もいるレベル、社学とかは無理だろうけど（偏見）、経とかは解けると思う（同じく偏見）
おそらく途中までしっかり書いて部分点狙い
1432978 makoto この程度なら解けると思いますが…問題は整数かと
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途中で悩んでしまいましたが、リアルな姿をお楽しみください(T . T)
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 さん
額からあんこが垂れてくる様子が画面に映っています。
お疲れ様でした。ありがとうございました。
*リアルが一番どす👍*
だから栗餡色のセーターなんですね
10:08
こう言うとこなんよね。
数学に慣れてない俺みたいな視聴者の目線で、「ここで頭こんがらがる人出そうだな」と思ったら、すぐ振り返って更に整理するための軽いコメントを入れてくれる。
そう言うのが無い場合は自分なりに理解できるまで動画を一時停止して考えるし、そっちのが良いのかもしんないけど、それが合ってるかどうかも不安だったりする。
ほんと魔術師って数学初心者に優しいと思う。
（時刻17:10頃）「α0
⇒ α0）
また、解の十分性も保証しておかなければなりません。同値性を意識して記述した方がよいでしょう。
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＜略解＞【※動画のように、放物線上の接点のx座標をtとおき（実は接線の傾きでもある）、放物線の接線として題意の直線を定める。
この直線が同時に円にも接するための条件は、原点との距離がrに等しいこと。
動画では特に明示されていないが、距離の式を変形してtの4次方程式を導く過程において、同値性は維持されている。
よって、以下のように続けることができる…。】
題意の2曲線の両方に接する直線が存在する条件は、傾き t に関する4次方程式
t^4 - 4(1+r^2)t^2 + 4(1-r^2)=0 …①
が（少なくとも１つの）実数解を持つこと。さらに題意が完全に満たされるための条件は
「積が-1となるような2実解を①が持つこと」…②。
ここでs=t^2とおけば、
①⇔ s^2 - 4(1+r^2)s + 4(1-r^2)=0…③
であり、条件②は「下記1°,2°の少なくとも一方が満たされること」と同値となる：
1°）sの2次方程式③が1を解に持つ。
2°）sの2次方程式③が「積が1に等しいような２つの正の解」を持つ。
r >0に注意して
1°）⇔ 1- 4(1+r^2) + 4(1-r^2) =0
⇔ 1 - 8r^2 =0 ⇔ r=√2/4。
③の判別式をDとおくと
D/4= 4(1+r^2)^2 - 4(1-r^2)
= ...
= 4r^2(r^2+3)>0。
よって③は相異なる2実解α,βを持つ。このとき、
解と係数の関係に注意して
2°）⇔ αβ=1 かつ α>0 かつ β>0
⇔ αβ=1 かつ α+β>0
⇔ 4(1-r^2)=1 かつ 4(1+r^2)>0
⇔ 4(1-r^2)=1
⇔ r^2=3/4
⇔ r=√3/2。
以上により、解答は r=√2/4, √3/2。■
最初にイメージ図を描いた時に不足があります。たくみさんが描いたのは左右対称の場合で、これは45度なので放物線との接点はそれぞれ(1,3/2)と(-1,3/2)。傾き45度なので秒殺できて、これはr=√2/4になります。
もう一つの答え、r=√3/2は、右上がりの接線が円の上を通り、右下がりの接線が円の下を通ることになります。
文字を置いて計算するから全パターンを描く必要はないですし、不足しているのを分かった上で一例を描いただけなんじゃないですか？でも確かに一つの答えは秒殺ですね。
問題を解いた後に、方程式の解と図形的なパターンとの対応を、解説してくれても良かった気がしますね。最初のイメージ図が最後まで残っていたので。
比較的計算が簡単な別解ができたのでご参考まで。
2接線と放物線との交点をm1,m2(m1>m2)とする。このとき接線の傾きもm1,m2である。
従って2接線の式はm=m1,m2としてy=mx-m^2/2+1。
その交点は((m1+m2)/2,m1m2/2+1)。
特に2接線が直交するためm1m2=-1であるから、((m1+m2)/2,1/2)である。
一方、円の対称性から、2接線が直交する時、原点と2つの接点、2接線の交点が作る四角形は正方形となる。
m1=1の時、即ち交点の座標が(0,1/2)の時は対角線の長さ√2r=1/2であるから、r=√2/4。
m1≠1の時、
傾きm1の直線とx軸のなす角をθと於けば、正方形の対角線の傾きはtan(θ±π/4)=(tanθ±1)/(1-+tanθ)と表せる。（-+はマイナスプラスの意味。複合同順）
※符号が＋となるのはm1と円との接点のy座標が正のとき、符号が－となるのは同じ点のy座標が負の時であることに注意。
tanθ=m1であることと、2接線の交点の座標が((m1+m2)/2,1/2)であることから、
1/(m1-1/m1)=(m1±1)/(1-+m1)…(*)
複合が＋の時
(*)⇔(m1-1)(m1^2+3m1+1)=0
⇔m1=1, (-3±√5)/2
m1≠1, m1>m2より、いずれも不適。
複合がーの時
(*)⇔(m1+1)(m1^2-3m1+1)=0
⇔m1=-1, (3±√5)/2
m1≠1, m1>m2より、m1=(3±√5)/2. この時m2=-(3-+√5)/2で、m1+m2=√5。
正方形の対角線の長さ=√2rであるから、対応するrの値は
r=√3/2
自分で考えてると全然分からんかったのに解説が分かりやすくて納得した。あと1年くらいでこういう問題が1人で解けるようになれるようにがんばる！
鈴木貫太郎さんの相槌がいいですね。
解説もとても丁寧で分かりやすかったです‼️
点(rcosθ,rsinθ)と円との接線を求めてそれが放物線と接する時sinθ=(r±√r^2+3)/3となってそれぞれsinθ1,sinθ2と置くと、r=sinθ1の2角が直交、r=sinθ2の2角が直交、r=sinθ1,rsinθ2のそれぞれの角が直交...の３パターンを考えれる。場合分けして計算するとr=√3/2,√2/4とわかる。■ y軸対称性を利用するとかなり楽に解けた。
α
放物線と円の対称性から、まず放物線上の、x=aとx=-a(a>0)における2本の接線が直交する必要条件から攻めるとかなり楽に求められる気がします。
y'=xより、a×(-a)=-1だから、a=1
2本の接線はy=±x+1/2で、それと円が接するから、r=1/2√2
あーそうか、２つあるのか…
ならx=α、x=βにおける接線2本が直交するからαβ=-1
あとは原点から2接線までの距離が同じって条件からもう一つ式作ってそっから接点が出せて、あとは点と直線の距離で終わりかな。
放物線の接点から始めずに、円の接点から始められないかな、と。今の数2Bの範囲が分からないので逸脱してたらごめんなさい。
円の2接線が直交するので、2つの接点をA,Bとすると、∠AOB=90°
したがってA(a,b)と置くと、B(-b,a)と書ける。
題意より、aもbも0でない。なぜなら一方が0の場合、2接線のうち一方はy軸と並行になるが、このような直線と所与の放物線はただ1つの交点を持ち、接線とはならないため。
点Aにおける円の接線の方程式は
y=-a/b(x-a)+b…①
点Bにおける円の接線の方程式は
y=b/a(x+b)+a…②
また、A,Bそれぞれからx軸に垂線を下ろして出来る三角形に関する三平方の定理よりa^2+b^2=r^2…③
(ここが数3C範囲と言われたら厳しい)
①および②が放物線y=1/2x^2+1と接するので、
以下の2つの方程式はそれぞれ重解を持つ。
-a/b(x-a)+b=1/2x^2+1
b/a(x+b)+a=1/2x^2+1
故にそれぞれの二次方程式の判別式=0であるから
a^2/b^2-2(1-a^2/b-b)=0
b^2/a^2-2(1-b^2/a-a)=0
整理すると
2b^3+a^2-2b^2+2a^2b=0…④
2a^3-2a^2+b^2+2ab^2=0…⑤
ここでa^3+b^3=(a^2+b^2)(a+b)-ab(a+b)、b^3-a^3=(b^2-a^2)(b+a)-ab(b-a)に注意して
④+⑤、④-⑤をそれぞれ計算して整理すると
(a^2+b^2)(2a+2b-1)=0…⑥
(b-a){2(a^2+b^2)-3(a+b)}=0…⑦
⑥において、③よりa^2+b^2=r^2>0であるから、a+b=1/2.
したがって⑦
⇔(a-b){2(a^2+b^2)-3/2}=0
a=bのとき、a=b=1/4であるから、③よりr=√2/4
2(a^2+b^2)=3/2のとき③よりr^2=3/4であるからr=√3/2
素晴らしい解き方ですね
本番ではtの４次式まで書いた記憶がある。
なお落ちた。
点と線の距離を求めるなら、先に接線を二つとも式で表して、
（x=tとx=-1/tにおける接線)
両接線からの距離をR1,R2として、
R1=R2となるようtを求めその時の値をrとした方がわかりやすいかなと思いました。
好みでしょうかね。
接線を(a,b)を通る傾きmの直線と置いたらどうだろうか？接線となる条件から円と放物線それぞれについてmについての二次方程式が立つ筈で、直行条件はm1m2=-1で処理できるから解と係数の関係が使える(ただしa^2+b^2>r^2...① b
点と直線の距離の計算の工夫は、勉強になりました
クアスアーク チャート解きましょう。
17:40 あたりの不適の証明はα＋βの式にβ＝1を代入して負にならないと表した方が計算が楽になると思う。
ほんとだ！いいですね
これα負になるのは単にsが0以上だからダメですよね
って感じじゃよくないんですかね
一橋tにしか見えんw
この点はでねぇよぉぉぉ！！AB通らない接線なんだからぁぁ〜
いいかぁぁぁ、おぅぅん。
誰のまねですか？😏
放物線の接線の関数を円の方程式に代入して、ｘの二次方程式に。この二次方程式が重解をもつという条件で、たくみさんと同じ式に到達しました。力技ででてきた四次方程式の解をもとめて、傾きの積が-1になるrを求めようとして、つまりました。動画をみて解と係数の関係のヒントを得て、同じ解に到達できました。力技にはしるのはテクニックがないからですね。
備忘録3周目👏80G"【 "微分法(接点設定)" からの "円に接" の戦略 】
y'＝ x より、 点 ( p, 1/2 p²＋1) での接線は、 y＝ p･x－1/2 p²＋1 ⇔
－2p･x＋2･y＋p²－2＝ 0 ･･･① ( 傾き p ) ⊥ ( 傾き－1/p ) だから、
y'＝ x＝－1/p より もう一つの接線は、y＝－1/p・( x＋1/p ) ＋1/2p² ＋1
⇔ 2p･x＋2p²･y＋1－2p²＝ 0 ･･･② ①, ②が 円と接する条件は、
| p²－2 |/√(4p²＋4) ＝ r ･･･③, | 1－2p² |/√(4p²＋4p⁴) ＝ r ･･･④
③, ④より r を 消去して、 ( p²－2 )²・p² ＝ ( 1－2p² )² ⇔
p⁶ －8p⁴ ＋8p² －1＝ 0 ⇔ (p²－1)( p⁴－7p²＋1)＝0 ⇔
p²＝ 1, (7±√45)/2 ③に代入して それぞれ、 r＝ 1/√8, √3/2 ■
〖 先に 条件式を並べて様子見て { ③ と ④ } → 一旦 r 消去が ○急所 〗
これはうまい
図形的解釈ではy軸に対して非対称のときってのが難しいなぁ
kazutaka sakamoto 一気に難易度上がりますね
まず図を描いてイメージを掴もうとしましたがその時点でｙ軸対称しか思いつきませんでした。y軸対称なら結構計算が端折れるのでｒの値はすぐでます。
しかし、y軸対称でない場合は計算で出すしかないから頭がこんがらがる。
もう一度ちゃんと復習します。
ｙ軸対称でない場合はx軸対称になるのか･･･？
放物線上に接点p,q置いて、条件を整理するとpの五次方程式になって解けない…
図示している「直交する2線がともにy軸対称になっている解」が2つ。直交する点が円の上(図示されてる)と下のものでこれが(ア)。それと他に「y軸対称になってない直交する2線の組がy軸対称で2つ存在する」という(イ)はかなりややこしい。図示の段階や、最低でも4次の偶関数が出てきた段階でそういうのがあるかも事前にイメージできていれば論証が簡単でかなりスマートになったかも。
基礎的な方法をしっかり説明してくれて分かりやすかったです
(ⅰ)の場合で少し混乱(？)されていましたが、sの二次方程式の解とした時点で、α,βは0以上なのでそもそもあり得ないということで(ⅱ)だけ検討すればいいと思いますがどうでしょうか？
なるほど！ありがとうございます
minecraftフィッシュマンさん
大丈夫だと思います。
この場合も検討しないと減点されるかもしれないですね笑
ほんとに大丈夫か？
条件がたくさんあるけどモヤモヤして解けない問題だなあと思ったら、たくみさんもそんな感じで悩んでたみたいですね。
α
条件式的にはそういうこと
円の方程式、両辺xで微分すればとか思ったけど文系の問題かこれ
悩んでると一緒に考えられてイイ！
これから毎回悩んでください！！
今日阪大模試です！（関係ない）
がんばります！
tの4次方程式が必ずt=±α,±βの形の4実解もち
これらのうち積が-1となる組合せがある、
（ここでいったん冷静になってから;^_^）
それはα=1の場合とαβ=1の場合がある。
前者はようするにt=1が解になってる
後者は4解の積が1ゆえ解と係数の関係から・・・
手頃な難易度の良問と思いました。
> tの4次方程式が必ずt=±α,±βの形の4実解もち...
r > 1のとき、この4次方程式は2実解しか持たないのでは？
（t^2の2次方程式と見ると2実解の積が負になるから、4次方程式としては符号が反転した2実解と共役2純虚解を持つはず。）
つまり上記のように記述できるのは r≦1 のときに限られており、特に αβ=1 の場合について求めた値が r≦1 を満たしていることを確認しない限り、論理的に瑕疵になると思われます。(4次方程式が±1を解に持つ場合については、他の解が実解／虚解のいずれであろうが題意が満たされるので、r≦1の確認は不要。)■
@@たま-z6n9k おっしゃるとおり。
「4実解もつならば必ず・・・の形をしており」と書くべきでしたね。
接線の傾きがtなら図形の対称性より
直交するもう一本の接線の傾きは-tだからt^2=1にならない？
罠にかかったみたいです。y軸対称でないものは気づかなかった
ironia006 たくみさんが最初に書いた図のイメージのせいでしょw
動画開いてすぐ止めて問題を解いているのでそれはないです
y=mx+a、y=-x/m+bとして始めても解けますね。
一橋、複二次式多いですね
事前に解答を見ないでぶっつけで解き始めちゃうところがすごい
r＞1のときは円が放物線と交わるから、「両方に直行する」に矛盾するから、（ⅰ）が成り立たないのだと思いました
それはあくまで感覚的な議論だからダメでしょ
こういう問題は論証を図に頼りすぎると減点される
いや減点されないよ？きちんと円と放物線が交われば、両方に直行しないことを示せればいい
x→0で与式がcosxに近似できることは関係あるのでしょうか？
これは放物線の接点を(a,b)(-a,b)と置いてそれぞれ接線出して、その直線が円と接するからcを2通りで表して代入して(a-1)b=0の形になるからあとはb≠0でa=1 b=1/2がわかるからc=√2/4って出るね
動画見たらまさかの解が２つだった 見直す
あーこれ(a,b)(-a,b)だけとは限らないのか うーむどうしよう
(ⅰ)の条件は考える必要はありますかね？sは0以上なので必然的にαβは0以上になると思いますが。あとはt1t2の組み合わせは8つしかないので、それから条件に合う組み合わせを考えれば大丈夫だと思いますが。
Sが負の解を持たないとは限らないし、持った場合も正の解の平方根どうしで掛けて-1になる可能性はあるかもしれないので確かめないといけないんじゃないですかね？
間違ってたらすみません…
これって最初の方で傾きが両方45°って言えないんですか？
97年の問題ならまさに受験の時に解いてるはずですけど全く覚えてないし今じゃ問題文が何言ってるのか分からないですね
放物線と円がy軸対称なので2つの接線もy軸対称である。
それらが直交するとき傾きは1と-1になる。
y=(1/2)x^2+1の傾きが1の接線はy=t(x-t)+(1/2)t^2+1でt=1としたy=x+1/2であり
r=|-(1/2)t^2+1|/√(t^2+1)=|1/2|/√2=√2/4
あれ？
さようならは笑っちゃったw
✴︎のところはs>0に２実解を持つから端点と軸も調べなきゃいけなくないですか？
間違っていたらごめんなさいー
持たない場合もあるよ。sが1つ存在すればtは2解を持つから必ずsの二次方程式がs>0に2実解を持つとは限らない
y＝nx＋mと円との重解条件使って解いたからめんどい場合分けは使わずに済んだけどそれでもタフな問題ですね
من فضلكم أتمنى اعطاءي فكرة عن مقررات منهاج الرياضيات الذي يدرس في المرحلة الثانوية في اليابان.....Thank you
京大オープン行って来ました、難しかった、、
こーゆう問題好き
さすが一橋。と感じる良問
良い問題！一橋！
アスタリスクの解はそもそもsが負をの値を取らないからαが0以下になる場合って検討しなくてもいんじゃね？わからん。書いた方がいいのかな
生田斗真にちょびっと似てる
とりあえず観ます！◎
全員イケメンやん
最初に直交する条件出した方が早いですね。
たくみさんの服GUかな？
4:00 定数項の符号が間違っている?
はじめにy軸対称から入ったほうが計算が易しい気がします。
全部右辺に整理しているから符号はあってるよ
あ、正しいですね。失礼しました。
グラフの原点にたくm(ry
あれ？確かヨビノリさんって自称身長180cmでしたよね？…あれ？
これスバルさん200cm近くあるんじゃ⁉︎
これってS、0以上だから、α、βも０以上だよね？
最初に図示したが中途半端
最後に幾何学的解釈がない
幅や厚みや深みかない🤢
やっつけ受験対策だけ🥵
数学的な発展性がない🥶
Y軸対象の方は接線がy=(±x+1)/2だからr=√2/4は自明だが√3/2の接線を求めて図示し解釈を示さなきゃ
هل هذه الدروس للمرحلة الثانوية
ヨビノリまじかっけぇ
こういうのは得意やねんけどな
おそるべし一橋・・・。後半意味わからんくなった。
これ文系？
解けること自体凄いけど、本番でこの解法は先ず絶望的な気がします。
もっちゃんがいないw
そんなに難しく考える問題か？
一橋大の大がtみたい
たくみさん今日顔の調子いいね
えへへ
@@にっしー-c9r おいこら
円といえばたくみ、たくみといえば円
一橋大学受ける人がこれ解けるの？
徹 このくらいの問題なら解けると思う。ヨビノリさんは黒板の都合上過程整理を省略しながら、しかも消しながら解いてるからこんがらがってたけど、実際に答案を書く受験生はしっかり解けると思うよ。
徹 一橋をナメちゃあかん
解けない人もいるし解ける人もいるレベル、社学とかは無理だろうけど（偏見）、経とかは解けると思う（同じく偏見）
おそらく途中までしっかり書いて部分点狙い
1432978 makoto この程度なら解けると思いますが…問題は整数かと